线性 (Linearity)与谐波失真的分析【转帖】

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线性 (Linearity)与谐波失真的分析【转帖】

摘自：www.diyzone.net  作者：孙恩宏
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线性 (Linearity)与谐波失真的分析

孙恩宏/Steve Sun

1.电压增益与线性
什么是线性? 假设一个电压放大器的电压增益是固定的 10 倍. 如果输入讯号的摆\幅是 1V 时, 输出讯号的摆\幅是 10V, 如果输入讯号的摆\幅是 10V 时, 输出讯号的摆\幅是 100V,… 也就是说输出讯号摆\幅与输入讯号摆\幅的关系是一个线性关系, 如下图:



世界上没有完全线性的扩大机. 实际上, 真实线路输出讯号摆\幅与输入讯号摆\幅的关系是如同上图的 B: 电压增益不是一个固定的数。

电压增益不固定又会有什么影响呢? 如果像上图的 B 曲线, 输入讯号摆\幅小时, 输出讯号摆\幅与输出讯号摆\幅成正比. 但是, 输入讯号摆\幅变大时, 输出讯号摆\幅比理想状况小. 所以, 使用小摆\幅正弦波输入, 输出的讯号 “基本上”还是一个正弦波. 但是, 当输入的正弦波摆\幅加大时, 输出讯号也会越来越不像正弦波，也就是说失真越来越大! 从这个讨论您可以看到:

1.线性就是无失真。
2.电压增益固定就是线性。

研究电压增益公式可以让我们了解影响电压增益的因素, 帮助我们控制变因, 让我们能设计出更线性, 失真更低的电路. 将来在真空管电路的文章里您会看到电压增益的计算与分析。

图说：讨论失真与线性，就得牵涉到比较复杂的理论基础。经常有人说，声音是无法用数据测量的，譬如，管机的音色虽美，但失真却普遍较高！然而，失真真的无法理性分析吗？未必，端看您是否有充分的知识能力去进行解析。

2.范例一
让我们看一下这个例子: 假设输出讯号是 Eout, 输入讯号 Ein 而且输出讯号与输入讯号的关系是:



也就是说 Eout 与 Ein 的关系如下:



从这个图, 我们可以很清楚的看到: 输入讯号 Ein 在 +1V, -1V 之间摆\动时, 输出讯号 Eout 会在 +13V 与 –7V 之间摆\动:



您有没有注意到输入讯号与输出讯号的波形并不相似! 这就是失真 (distortion)。

为了更仔细的分析失真, 让我们做一些公式推导:

假设输入讯号 (omega 称为基频, fundamental frequency.):



代入输入讯号与输出讯号的关系式:



在最后的式子中, 出现了基频的二倍频率. 这个 2 x omega称为基频的二阶谐波 (second harmonics)。

在上面的例子中, V0 = 1V, 所以:



您应该可以从这个式子看出: 输入讯号 Ein 在 +1V, -1V 之间摆\动时, 输出讯号 Eout 会在 +13V 与 –7V 之间摆\动。

这也是 Eout 的傅立叶级数展开式. 所以在示波器上做 FFT 后的结果如下:



结论: (1) 输出波形不对称, (2) 除了二阶谐波外还有直流偏移! (在上例中, 输出讯号有 1.5V 的直流偏移.) 这些是偶数阶谐波失真的特性! (3) 上例中, 二阶谐波失真是: 1.5/10 x 100% = 15%。



图说：Audio Precision System 2与其衍生的扩充模块，是目前音响测试的主流，不仅半导体产业充分运用，也是许\多国际间Hi-End大厂评估特性的标准。谁说Hi-End只是光凭耳朵听？其实他们更懂得运用仪器，而这也是DZ未来努力的方向。

3.范例二
假设输出讯号是 Eout, 输入讯号 Ein 而且输出讯号与输入讯号的关系是:



也就是说 Eout 与 Ein 的关系如下:



从这个图, 我们可以很清楚的看到: 输入讯号 Ein 在 +1V, -1V 之间摆\动时, 输出讯号 Eout 会在 +8V 与 –8V 之间摆\动:



假设输入讯号是:



代入输入讯号与输出讯号的关系式:



在最后的式子中, 出现了基频的三倍频率. 称为基频的三阶谐波 (third harmonics)。

在上面的例子中, V0 = 1V, 所以:



在示波器上做 FFT 后的结果如下:



结论: 输出波形对称, 但是有失真. 请您比较一下图 (b) 中, 输出与输入讯号的差别. 这是奇数阶谐波失真的特征! 上例中, 三阶谐波失真是: 0.5/8.5 x 100% = 5.9%。

4.总谐波失真
从以上的讨论, 您一定知道如何计算奇数阶谐波失真与偶数阶谐波失真, 或是用可以做 FFT 的示波器测量谐波失真. 最后, 计算总谐波失真 (total harmonic distortion) 的公式是:



参考数据:
1.Langford-Smith: Radiotron Designer’s Handbook, 4th ed.
2.James Hardy: High Frequency Circuit Design, Reston Publishing Co., 1978.